Хорошо ли вы знаете математику?

Этимология алгебры

Термины «алгебра» и «алгоритм» подарил миру работавший в Багдаде ученый Абу Абдуллах Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми. Родился он в Хорезме (или рядом с ним в Хиве), занимался наукой в самом начале IX века нашей эры, в период расцвета арабской науки и философии. В Багдаде он возглавлял Дом мудрости, своего рода Академию наук при халифе аль-Мамуне. Предки аль-Хорезми могли быть зороастрийцами, но сам он, судя по сочинениям, был благоверным мусульманином. Больше о его личной жизни не известно практически ничего. Главные его сочинения, переведенные на латынь, а затем и на европейские языки, использовались вплоть до XVI века как учебники математики. Содержание книги «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» известно по латинскому переводу 1140 года английского математика Роберта Честерского. В ней описан метод решения квадратных уравнений. Слово «аль-джебр» — «восполнение» — означало перенесение отрицательного члена из одной части уравнения в другую (отсюда и название «алгебра»), а «аль-мукабала» — «противопоставление» — сокращение равных членов в обеих частях уравнения. Штрих того времени — в примерах все действия обозначались не привычными нам формулами и символами, а словами. Даже сами цифры и числа. Хотя одна из первых рукописей аль-Хорезми — «Книга об индийском счете» — как раз и описывала преимущества индийской позиционной системы записи цифр, принятой сейчас повсеместно. В том числе и с подачи арабского ученого. Имя аль-Хорезми в латинской словоформе algorismus было перенесено на сам процесс решения — алгоритм. В испанском оно оставило слово guarismo («цифра»), в португальском — algarismo с тем же значением.

Вокруг пи

В историю науки уроженец Уэльса Уильям Джонс вошел под знаком пи — он первым использовал его как отношение длины окружности к диаметру. До него греческой буквой пи иногда обозначали саму окружность, по-гречески «периферия». На самом деле, цифровое значение пи в 3,14 знал еще Архимед по приближению 22, деленное на 7. И во времена Уильяма Джонса — в самом начале XVIII века — было известно 100 знаков числа пи. Тысячу преодолели в середине XX века с помощью настольного калькулятора. В 2022 году было известно уже 100 трлн знаков. Для этого потребовалось почти полгода работы суперкомпьютера. Погоня за новыми рекордами стала просто технологической забавой, поскольку для любых космологических исследований достаточно нескольких сотен знаков. А с помощью программ для вычисления пи тестируют производительность компьютерной техники. Число пи используют также в термодинамике, механике, расчетах фракталов. И даже в дальней авиации, учитывая кривизну Земли. В университетах США празднуют день числа пи — 14 марта. В американском написании дат это 3.14 — третий месяц, 14-е число. На английском произносят «пи» как «пай» и едят в этот день круглый пирог-тортик. День, кстати, совпадает с днем рождения Эйнштейна, видимо, по случайности.

Наличие симметрии

Симметрия — одно из свойств Вселенной, но не факт, что всеобъемлющее. Суперсимметрия на уровне квазичастиц обсуждается как гипотеза, но для ее подтверждения надо найти симметричные пары для фотонов, кварков и прочей мелочи. Пока не нашли. В природе симметрия проявляется в неорганических кристаллах, а в 1894 году Пьер Кюри предложил распространить это понятие на физику. Он показал, что не только все вещественные объекты, но и все физические явления, включая электрические и магнитные поля, могут иметь симметрию. А чтобы докопаться до ее причин, следует изучать следствия. Наличие или отсутствие симметрии человеческий мозг определяет быстро — за одну десятую долю секунды. Чем более симметрично лицо, тем более привлекательным оно нам кажется. Но только до какого-то предела, за которым начинается обратный процесс. Больше отталкивает несимметричный нос, губы же на привлекательность почти не влияют. Во время речи 3/4 людей больше задействуют правую половину рта. Возможная причина — прямая связь между левым полушарием мозга, где локализуется язык, и правой стороной лица. В других исследованиях обнаружено, что с симметрией лица могут быть связаны экстраверсия и, возможно, правдивость: когда люди лгут, будто бы мышцы их лица двигаются несинхронно. Маска смерти, то есть приобретение лицом усопшего полной симметрии, — это миф. Наоборот, современные исследования доказывают, что с возрастом асимметрия лица лишь увеличивается. На это влияют неравномерное старение костей и мягких тканей, привычка спать на одной стороне и даже гравитация. При этом зависимости от расы и пола не выявлено. В любом случае чисто возрастные изменения невелики: среднее квадратичное отклонение составляет всего 6 сотых миллиметра за каждое десятилетие жизни.

Из кода да Винчи

Числа Фибоначчи стали частью современной массовой культуры. Особенно после романа Дэна Брауна «Код да Винчи» и его экранизации. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 — каждое последующее число — это сумма двух предыдущих. А Леонардо Пизанского, прозванного позже Фибоначчи, называют самым талантливым математиком средневековой Европы. Его отец занимался торговлей и приучал сына к тому же ремеслу. Он работал в городе Беджая на территории современного Алжира, там Леонардо и получил образование. Там же познакомился с индийско-арабской системой счисления. Посетив множество стран, примерно в 30 лет Фибоначчи вернулся в Пизу, где в 1202 году опубликовал свою самую известную работу Liber Abaci — «Книгу абака», то есть счета. Кстати, абаком называли и счетные доски, которые в древности применяли в Греции, Риме, Китае и других странах. Российские счеты, бухгалтерский атрибут докомпьютерного времени, — тоже одна из разновидностей абака. В своей книге Фибоначчи подробно описал систему десятичного позиционного счета индийцев и арабов, а также собрал или придумал множество задач по математике, которые позже будут воспроизведены в учебниках, в том числе в «Арифметике» Магницкого 1703 года и в «Алгебре» Эйлера 1768 года. А сами числа Фибоначчи выросли из задачи о кроликах. Условия просты: есть одна пара кроликов. Каждый месяц она производит на свет другую пару: мальчика и девочку. Кролики в этой задаче бессмертны и начинают производить приплод со второго месяца жизни с завидной регулярностью. Сколько пар кроликов окажется там через полгода или через год? Ответ — в последовательности Фибоначчи. Числа Фибоначчи лежат в основе золотого сечения и наделяются магией гармонии, хотя сам математик о подобном не упоминал.

Божественная пропорция

Францисканский монах и математик Лука Пачоли в начале XVI века назвал золотое сечение «божественной пропорцией». А задолго до него Евклид в своем труде «Начала» без пафоса писал о делении «в крайнем и среднем отношении». Геометрически эта пропорция задается делением отрезка прямой на две неравные части таким образом, что отношение большей части к меньшей равно отношению всего отрезка к его большей части. Иоганн Кеплер утверждал, что в геометрии два сокровища: теорема Пифагора и деление в крайнем и среднем отношении, первое — золотое правило, а второе — драгоценный камень. Математически золотое число — это решение уравнения 1 плюс квадратный корень из 5, все это деленное на 2. Это иррациональное число, примерно равное одному целому и 618 тысячным. Оно обычно обозначается греческой буквой фи в честь скульптора и создателя Парфенона Фидия. К XIX веку математики уже наигрались с красивым числом, но активизировались гуманитарии: немецкий поэт Адольф Цейзинг утверждал, что нашел его в расположении ветвей вдоль стеблей растений и в рисунке прожилок в листьях. Его сознательным последователем уже в XX веке был архитектор Ле Корбюзье. Музыку золотого сечения писал композитор Яннис Ксенакис, магическое число находят в картинах Сальвадора Дали. А вот художники и архитекторы Возрождения этой пропорцией, похоже, не пользовались. В правильной пятиконечной звезде — пентаграмме — каждый отрезок делится пересекающим его отрезком ровно в том самом соотношении. Пирамида Хеопса, спирали еловой шишки, лепестки подсолнуха — там золотое число довольно близко, но не прямо чтобы точь-в точь. А вот попытки увидеть его в пропорциях человеческого тела кажутся сильно натянутыми.